Если Вам попалось выражение, функция или уравнение, содержащее логарифмы, то для их упрощения или решения необходимо четко знать и использовать определение и свойства логарифмов.

Следует помнить, что логарифм любого положительного числа b по основанию положительного числа а, не равного единице, называется некоторый показатель степени с, в который возводят число а, для получения b.

logab = c <=> ac = b.

Также следует помнить основное тождество:

Свойства логарифмов

1. Если имеется логарифм произведения двух чисел больших нуля, то данный логарифм можно записать в виде суммы:

Данное свойство вытекает из основного свойства степени — при умножении степеней их показатели складываются.

2. Логарифм частного двух чисел равен разности двух логарифмов:

Данное свойство было получено из свойства деления степеней — при делении степеней, показатели вычитаются.

3. Если некоторое число в степени находится под знаком логарифма, то показатель степени можно вынести вперед, тем самым, умножив логарифм на показатель:

Данное свойство вытекает из одного из основных свойств степенной функции — при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

4. Если число и основание логарифма совпадает, то значение такого логарифма равно единице:

5. Логарифм по любому основанию равен нулю, если число равно единице:

6. При любом логарифме можно перейти от одного основания к другому. Для этого необходимо просто воспользоваться формулами:

Основная ошибка, которую допускают большинство — использование некоторого логарифма суммы. Запомните, не существует данной формулы: loga(b±c) ≠ logab ± logac.

Свойства логарифмической функции

Для любой логарифмической функции с положительным основанием, не равным единице, справедливы следующие свойства:

• Областью определения данной функции являются все положительные числа.
• Значением логарифмической функции является множество действительных чисел.
• Для основания степени, большего единицы, функция возрастает на всем промежутке рассмотрения.
• Если основание находится в пределах от нуля до единицы, то функция убывает на всем рассматриваемом промежутке.
• Данная функция не является парной или непарной.
• Если переменная равна единице, то функция превращается в ноль, то есть точка, в которой график функции пересекает ось ОХ — это (1;0).

Так как логарифмические функции являются обратными к показательны, то и решения логарифмических уравнений сводится по аналогии к решению показательных уравнений.

Существует три основных вида простейших логарифмических уравнений. Ниже представлены способы их решения: